CONJUNTOS DESDE CERO

En esta unidad vas a aprender mucho sobre los conjuntos ¿Cómo se clasifican? ¿Cómo se representan? ¿Qué operaciones se pueden realizar entre ellos? y como utilizarlos en situaciones de la vida cotidiana. Pero antes echemos un vistazo a tus conocimientos previos sobre el tema. 

No te asustes, este ejercicio es solo para tener un punto de referencia. Si hay algo que no sabes, eso significa que tienes muchas mas oportunidades de aprender con este curso.

¿A quien va dirigido este curso?

Este curso es dirigido a estudiantes de bachillerato que quieran ampliar su conocimientos matemáticos. De igual forma aquellos estudiantes que deseen prepararse para presentar las pruebas del ICFES o de ingreso a la universidad podrán beneficiarse mucho de este curso.

Observa el siguiente video.

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¿Qué es un conjunto?

Un conjunto puede definirse como una colección de varios elementos que comparte una o varias características similares.

Lo anterior significa que, dado un conjunto y un elmento x se puede establecer claramente si el elemento pertenece o no al conjunto.

Para nombrar un conjunto se usan letras mayúsculas y para los elementos se suelen usar letras minúsculas.

 

CLASES DE CONJUNTOS

Conjunto Universal:

Con el ánimo de evitar confusiones, cuando definimos un conjunto debemos especificar de dónde se están tomando los elementos que lo conforman.  Esto significa que debe existir una base de la cual tomamos estos elementos, esta base sobre el cual trabajamos es llamada conjunto universal.  Usaremos siempre la letra  U para representar el conjunto universal.

Por ejemplo, si quieres definir B como el conjunto conformado por las vocales (a,i) el conjunto universal podría ser el conjunto de las vocales.  En la figura anterior se muestra cómo puedes usar los diagramas de Venn para representar la relación entre el conjunto B y su conjunto universal U. Observa que el conjunto universal puede tener exactamente los elementos de los conjuntos que abarca o más.

Conjunto Vacio:

Consideremos la existencia de un conjunto que no tiene elementos, este es llamado conjunto vacío.  Para representar dicho conjunto usamos el reconocido símbolo del vacío, como se muestra en la imagen.

También, haciendo uso de la descripción por extensión, representamos el conjunto vacío por medio de los corchetes {}.  Como el conjunto vacío no tiene elementos, no podemos ubicar ningún elemento en el interior de los corchetes.

Conjuntos unitarios

El conjunto unitario se distingue por tener solo un elemento.  No importa qué tipo de elemento tenga el conjunto, un gato, un perro, un número, una letra o cualquier otra cosa, si tiene un solo elemento es llamado conjunto unitario.

Conjuntos finitos

Este tipo de conjunto también se distingue por la cantidad de elementos que posee.  Un conjunto es finito si podemos contar la cantidad de elementos que lo conforman.

Por ejemplo, el conjunto de las letras del idioma castellano es finito porque en total son 27  letras.  En la imagen de la derecha se muestran otros conjuntos finitos.  Te puedes dar cuenta que los conjuntos unitarios también son finitos.

Conjuntos infinitos

No es fácil encontrar en la naturaleza ejemplos de este tipo de conjuntos.  Los conjuntos infinitos son aquellos a los cuales no les podemos contar la cantidad de elementos que los componen.  El método más fácil para representar este tipo de conjuntos es por comprensión.  Basta con mencionar las características que tienen en común los elementos del conjunto y los estaremos determinando a todos.  Considera el conjunto de los números que terminan en tres, podríamos definirlo así:  

N = { x / x es un número natural }

También existe una manera de representar algunos conjuntos infinitos por extensión.  Basta exhibir los primeros elementos del conjunto e indicar con puntos suspensivos que la lista continua indefinidamente.  En el caso del conjunto N , definido en el párrafo anterior y conformado por los números naturales, se tiene que:

N = { 1, 2, 3, 4, 5……..} 

Los ejemplos más sencillos y comunes de conjuntos infinitos los encontramos en los números.  ¿Cuántos números pares hay? ¿cuántos múltiplos tiene el tres?  Estos conjuntos son infinitos, y no es porque este más allá de nuestra capacidad contar la cantidad de elementos que tienen.  Es que es imposible hacerlo porque no hay un número que represente la cantidad de elementos que el conjunto contiene. 

No debes confundir los conjuntos infinitos con conjuntos finitos que tienen una gran cantidad de elementos.  Por ejemplo, ¿consideras el conjunto de todos los granos de arena en el planeta Tierra, un conjunto infinito?  En este caso, aunque el conjunto tenga una gran cantidad de elementos debe existir un número que la represente, así sea muy grande. 

 

 

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Representación de conjuntos.

La representación de los conjuntos no es más que una forma de mostrar cómo se escriben o cómo se pueden dibujar.

Hay tres formas de representar los conjuntos, por medio de diagramas de Venn, por extensión y por comprensión. Ver solo los nombres de la representación puede parecer complejo, pero en realidad no lo es tanto. Veamos:

Diagrama de Venn

El diagrama de Venn no es más que la representación gráfica de los conjuntos. Es decir, cuando los elementos que componen el conjunto se encuentran dentro de una superficie limitada por una línea.

Imagina que tienes una bolsa en la que  hay diferentes frutas. Entonces, al traducirlo como un conjunto  se vería la A como lo que representa todas frutas. El círculo sería la bolsa y lo que se encuentra adentro, en este caso cada una de las frutas (manzana, banano, naranja) serían los elementos que forman el conjunto de las frutas.

Si dos o más conjuntos comparten elementos también es posible usar diagramas de Venn para  representar esa situación.

Supongamos que el conjunto M está conformado por las letras m, n  p, t que el conjunto P está conformado por las letras n,  p,  q, s.  Como puedes ver, los conjuntos M  y P comparten los elementos n y p.  Se pueden representar de la siguiente manera: 

Observa con mucha atención el siguiente ejemplo:

Estamos en una asamblea de futuros copropietarios de un edificio a la que asisten 100 personas.
Sabemos que 35  son hombres que viven solos, 24 son mujeres que viven solas y 20 son hombre y mujeres que viven en parejas. El resto de los asistentes, son inversores que no planifican vivir en el edificio sino que comprarán como inversión.
¿Cuántos inversores hay presentes en la asamblea?

Para resolver este tipo de problemas, es muy importante seguir las siguientes recomendaciones:

Lee la letra con mucha atención y determina a cuántos conjuntos de personas corresponden los datos que se te ofrecen.

En este caso son 3: los hombres solos, las mujeres solas y las parejas (compuestas obviamente por hombres y mujeres)

2) Realiza un diagrama de Venn que te permita dibujar los datos que estás leyendo. En este caso podría ser algo así (recuerda que tienes que definir cuánto es el “universo” es decir, la totalidad de elementos que se mencionan en la situación problemática, en este caso, los 100 asistentes a la asamblea. Coloca en los diferentes sectores  los números con los datos que te aporta el problema; en este caso quedaría algo como esto:

3) Comienza a razonar la letra y a escribirla en forma de ecuación. Después de todo, lo que estás buscando es una incógnita: el número de personas entre las 100 presentes que no están en ninguna de las categorías antes mencionadas. La ecuación en cuestión podría escribirse así y resolverse como cualquier otra ecuación de una sola incógnita. Toma nota:

   x + 35 + 20 + 24 = 100
                     x  + 79 = 100
                                x = 100 – 79
                                x = 21

Nota: Si puedes resolver el problema solo con un diagrama de Venn ¡GENIAL!, si además puedes plantear la ecuación, eres todo un CRACK nivel DIOS.

 

4) Analiza la respuesta numérica y redacta la respuesta final al problema. En este caso sería así:

Respuesta: el número de asistentes que son inversores es 21

Momento de practica. Copia y resuelve la siguiente actividad en tu cuaderno. 

Se encuesta a todas las personas que viajan en un tren, acerca de sus deportes favoritos. Estas son las respuestas:

  • A 115 les gusta el Basket ball
  • A 35 les gusta el Basket ball y también el Atletismo
  • A 90 sólo el Atletismo
  • Son 105 el total de personas a quienes no gusta el Basketball

La pregunta es: ¿Cuántos pasajeros fueron encuestados en el tren?

Realiza un diagrama de Venn para obtener la respuesta.

Descripción de conjuntos por extensión

Para describir los elementos de un determinado conjunto los puedes mencionar uno a uno, a esto se conoce como descripción por extensión.  Definamos Q  como el conjunto conformado por los colores del arco iris, en este caso podemos describir el conjunto Q  por extensión así:

Q = { rojo, naranja, amarillo, verde, índigo, azul, violeta}

Si un conjunto tiene muchos elementos puedes hacer uso de los puntos suspensivos para describir el conjunto por extensión.  Por ejemplo, si el conjunto W está conformado por los cien primeros números enteros positivos, puedes representarlo de la siguiente manera:

W={1,2,3……..98,99,100}

En este caso no se muestran los cien elementos que conforman el conjunto.  Sin embargo, los puntos suspensivos representan todos los elementos que, por comodidad, no hemos escrito.

 

Momento de practica. Copia y resuelve la siguiente actividad en tu cuaderno. 

Representación de conjuntos por comprensión

En algunos casos los conjuntos pueden tener una variada cantidad de elementos y la descripción por extensión resultaría muy ardua. Se puede entonces describir los conjuntos mencionando las características que comparten los elementos que los conforman.  Por ejemplo, si P  es el conjunto conformado por todos los países del mundo se puede escribir:

P = {x l x es un país}

En donde la barra | se lee como tales que.  Así, la anterior expresión se lee: P es el conjunto de los x  tales que x es un país”.  En este caso el símbolo x es usado simplemente para representar los elementos del conjunto P.

Conectivos

En algunas ocasiones los elementos que conforman un conjunto deben satisfacer más de una condición, o una de varias.  En tales casos se usan los conectivos disyunción y conjunción.

La disyunción

Observa el siguiente ejemplo:
A = {a l a es un animal mamífero o  volador}
En esta ocasión hay dos condiciones para los animales que conforman el conjunto: ser mamífero o volar.  La disyunción es la letra “o” que las conecta y esta significa que los elementos que conformen el conjunto deben satisfacer alguna de las dos condiciones o ambas.

Para este caso, por ejemplo, la  abeja cumple la condición de volar, por lo que debe pertenecer al conjunto.  El gato por su parte cumple la condición de ser mamífero, por lo que también debe pertenecer a  A.  El murciélago cumple las dos condiciones, ya que es un mamífero que vuela, así que también pertenece a A.

La conjunción

Definamos el conjunto así: 

P = {p l p es un número entero  mayor o igual que 4  y menor que 8}

En este caso también hay dos condiciones pero están unidas por la conjunción “y”.  Esto significa que los elementos que pertenezcan al conjunto deben cumplir las dos condiciones simultáneamente.

Como te puedes dar cuenta, en la definición de los elementos del conjunto P  hay dos condiciones: “ser mayor o igual que 4” y “ser menor que 8”, como estas condiciones están unidas por un “y” se deben cumplir ambas. Por lo tanto los elementos del conjunto P serán:

P = {4,5,6,7}

 

Observa el siguiente video:

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Relaciones entre conjuntos

Antes de iniciar el estudio de las relaciones entre conjuntos, observa los siguientes videos, para que te familiarices con algunos conceptos.

Relación de pertenencia

Para comenzar, debes comprender la relación entre los conjuntos y los elementos que lo conforman.  Cuando un objeto es uno de los elementos de un conjunto decimos que pertenece al conjunto.

Como has visto, es posible representar gráficamente la relación de pertenencia por medio de diagramas de Venn dibujando el elemento dentro de un circulo que representa el conjunto.  Ahora aprenderás a representar esta relación por medio de símbolos matemáticos.

Se usa el símbolo que se muestra en la parte izquierda de la siguiente figura, como el símbolo de la pertenencia.  Si queremos representar que cierto objeto no pertenece a determinado conjunto, usaremos el mismo símbolo atravesado por una línea, como se muestra en la figura de abajo a la derecha.

En el ejemplo de abajo puedes ver el conjunto unitario E , el cual está conformado por el elemento 1.  Los símbolos del lado derecho representan de forma escrita lo mismo que el diagrama de Venn.

La expresión 1 ∈ E  debe ser leída como “ pertenece a ” o “ 1 está en E ”.  Puedes apreciar también que  a no está en el conjunto E , la expresión a ∉ E  debe leerse como “ a  no pertenece a E ” o “ a  no está en E ”.

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Relación de contenencia y subconjuntos

Definamos como F y G los conjuntos que se muestran en el siguiente diagrama de Venn:

Como te puedes dar cuenta, cada elemento que pertenece al conjunto G  pertenece también al conjunto F. Cuando se da esta situación decimos que un  conjunto está contenido en el otro, o que es un subconjunto del otro.

En este caso G  está contenido en F o lo que es igual, G es subconjunto de F  La manera correcta de representar la relación de contenencia es dibujar un conjunto dentro del otro.  Para el caso de los conjuntos F y G definidos anteriormente, la representación correcta es como se muestra en la figura de abajo.

También es posible representar de forma escrita la relación de contenencia entre conjuntos.  Se usa el símbolo que se muestra en la figura de abajo a la izquierda como el símbolo de la contenencia.  Si queremos representar la no contenencia de conjuntos, usaremos el mismo símbolo atravesado por una línea como se muestra en la figura de abajo a la derecha.

Definamos los conjuntos h = {a,c,e} , I=¨{a,e} y J = {c,e,h} .  ¿Crees que existe alguna relación de contenencia entre estos conjuntos?

 Fíjate bien, recuerda que un conjunto está contenido en otro si cada uno de sus elementos pertenece también al otro conjunto.  En este caso cada elemento del conjunto I pertenece también al conjunto H , decimos entonces que I  está contenido en H o que  es subconjunto de H.

¿Crees que el conjunto J está contenido en el conjunto H?  Si observas con atención, notarás que hay un elemento de J que no está en H.  Es decir, no se cumple que cada elemento de J esté también en H.  Se puede asegurar entonces que J no está contenido en H, o lo que es igual, que  J no es subconjunto de H.

Para representar estas relaciones a través del símbolo de contenencia se escribe de la manera que puedes ver en la figura de abajo.  Estas expresiones se leen así: “ I está contenido en H ”, o “ I es subconjunto de H”, y “ J no está contenido en H”, o “ J no es subconjunto de H”.

Es importante aprender a representar gráficamente la relación de contenencia entre conjuntos I, J y H.  Para el caso de nuestros conjuntos ,  y , se pueden representar de la siguiente manera:

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Relación de igualdad

Veremos ahora en que condiciones podemos decir que dos conjuntos son iguales, esto lo haremos a través de la relación de igualdad entre conjuntos.

Observa los conjuntos K y L, definidos así: kK ={p,q,r,q,s,r,p} y L={s,r,p,q}.

¿Consideras que los conjuntos K y L son iguales?  Antes de contestar esta pregunta necesitas tener criterios para poder responder adecuadamente.

Se dice que dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos.  Una forma práctica de establecer si dos conjuntos son iguales es determinar si se contienen el uno al otro.

Por ejemplo, para verificar si los conjuntos K y L de la imagen son iguales, debemos verificar si K ⊆ L  y además si L ⊆ K .

¿Es cierto que cada elemento de K  está en L, y que cada elemento de L está en K?  Como puedes ver la respuesta a esta pregunta es afirmativa, decimos entonces que K es igual a L  y lo notamos así: K = L.

Fíjate que no importó que algunos elementos estuvieran repetidos, o en que orden estuvieran presentados los elementos.  Resultaría igual escribir por ejemplo {p,q,r,q,s,r,p} que {r,s,p,q}  o que {p,r,q,s} es decir: {p,q,r,q,s,r,p} = {r,s,p,q} = {p,r,q,s} .

Si se da el caso que dos conjuntos no son iguales usamos el símbolo ≠ .  De esta manera la expresión A ≠ B  debe ser leída como “ A es diferente a B ”, o “ A y B  no son iguales”.

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Operaciones entre conjuntos

Además de relacionar los conjuntos a través de la contenencia y la igualdad, podemos crear unos nuevos a través de las operaciones entre conjuntos.  Aquí aprenderás de que se trata.

Unión de conjuntos

Supongamos que tenemos los conjuntos M y N definidos como se muestra en la siguiente figura:

Podemos crear otro conjunto conformado con los elementos que pertenezcan a M o a N .  A este nuevo conjunto le llamamos unión de M y N, y lo notamos de la siguiente manera: M ∪ N .  En la imagen de abajo puedes observar el resultado de unir los conjuntos M y N.

Al elegir qué elementos estarán en la unión de nuestros conjuntos M y N, debes preguntarte cuáles están en el conjunto M  “o” en el conjunto N.  El resultado de la operación será el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal U, que cumplan la condición de estar en uno o en otro.

Tenemos en este caso: M ∪ N = {a,c,b,g,e,l} :

Intersección de conjuntos

Sigamos tomando como ejemplo los conjuntos M y N definidos anteriormente.  Podemos determinar un nuevo conjunto conformado por los elementos que nuestros conjuntos  M y N tienen en común.  A este nuevo conjunto le llamamos intersección de M y N, y lo notamos de la siguiente manera: M ∩ N .

Para determinar que elementos pertenecen a la intersección de los conjuntos  M y N te puedes preguntar qué elementos están en  M “y” en N.  Todos los elementos del conjunto Universal que cumplan esta condición deberán estar en el conjunto M ∩ N.  En la figura puedes ver la intersección de nuestros conjuntos M y N : M ∩ N = {b}.

 

 

Diferencia de conjuntos

Además de la unión y la intersección podemos realizar la diferencia de conjuntos.

En este caso se deben seleccionar los elementos de un conjunto que no estén en el otro.  Por ejemplo, si realizas la operación M menos N , debes seleccionar los elementos de M  que no están en N.  Representamos la diferencia M menos N así: M – N.  Observa que en este caso M – N = {a,c} .

Diferencia simétrica de conjuntos

Que el nombre esta operación no te alarme, también es muy sencilla.

En esta ocasión se deben escoger los elementos de M que no están en N, y los elementos de N que no están en M.  Puedes ver el resultado de la diferencia simétrica entre M y N en la figura de abajo.  Representamos la diferencia simétrica a través del símbolo Δ.  En el caso de nuestros conjuntos M y N tenemos: M Δ N = {a,c,g,l,e}.

Complemento de un conjunto

La ultima operación que estudiaremos no es entre dos conjuntos.  Decimos que el complemento de M  es el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal U, que no pertenecen al conjunto M.     Nosotros usaremos como símbolo la letra que representa al conjunto con una “c” como exponente .  En nuestro caso tenemos  y .

Observa el siguiente video, el cual te ayudara a comprender mejor las operaciones entre conjuntos.

Problemas de conjuntos

Es posible usar los conceptos aprendidos para interpretar y resolver cierto tipo de problemas, aprende cómo hacerlo.

Observa la siguiente situación: en un salón de clases de 50  niños y niñas, a 10 les gusta solo el helado de fresa y a 5 solo el helado de chocolate.  Si a 20  niños no les gusta el helado ni de fresa ni de chocolate: ¿a cuántos niños les gustan los dos helados?, ¿a cuántos niños les gusta en total el helado de fresa?, ¿a cuántos el de chocolate?

¡Mira la solución, es más sencilla de lo que crees!  Primero representaremos la situación con diagramas de Venn: llamaremos F  al conjunto de los estudiantes a los que les gusta el helado de fresa y C al de conjunto de niños que gustan del helado de chocolate.

Estos dos conjuntos deben estar contenidos en un conjunto universal, que es precisamente el salón de clase completo.  Por lo tanto podemos representar toda la situación a través del siguiente diagrama.

Las diferentes regiones del diagrama representan diferentes grupos de estudiantes.  Por ejemplo, en la intersección de los conjuntos F  y C, se representa la población de estudiantes que gustan de los dos helados, mientras que la región exterior a los conjuntos, representa la parte del curso que no gusta de ninguno.  Podemos por lo tanto ubicar las cantidades de estudiantes en las zonas correspondientes:

Observa que el 10  y el 5  quedaron ubicados en zonas que comprenden los estudiantes que gustan de solo de uno de los dos helados, por su parte el 20 está ubicado por fuera de los dos conjuntos, representando los estudiantes que no gustan de estos sabores de helado, tal y como lo dice el enunciado del problema.  Ahora bien, tenemos 10 estudiantes que solo gustan del helado de fresa,  5 solo el de chocolate y 20 ninguno de los dos, lo que nos da un total de 10 + 5 + 20 = 35.

Como el curso completo se compone de 50  estudiantes tenemos un faltante de 50 – 35 = 15 .  ¿A qué grupo pertenecen estos 15 estudiantes?

Solo hay una opción: a la región que gusta de los dos helados, es decir la intersección de los conjuntos F y C.

Podemos entonces responder todas las preguntas hechas inicialmente: a 15  niños les gustan los dos helados, en total a 25 les gusta el helado de fresa y a 20  les gusta el helado de chocolate.

Una última pregunta: ¿a cuántos estudiantes les gusta el helado de fresa o el de chocolate?

Recuerda que la unión de conjuntos está conformada por los elementos que pertenecen a uno u otro, por lo tanto la respuesta es la cantidad de estudiantes de la unión F ∪ C .  Esto quiere decir que a 30 estudiantes les gusta el helado de fresa o el de chocolate.

Revisemos lo aprendido hasta aquí. Da click en la imagen para iniciar el cuestionario